Gabarito disponível
Considere ABC um triângulo retângulo em B e uma circunferência λ a ele inscrita, sendo D ∈ A̅B̅, E ∈ B̅C̅ e F ∈ A̅C̅ os pontos de tangência entre os lados do triângulo e a circunferência. Sabendo-se que os catetos A̅B̅ e B̅C̅ medem, respectivamente, 16 cm e 12 cm, calcule, em cm², a área do quadrilátero DBEF.
Resolução comentada
Área do quadrilátero DBEF no triângulo 12-16-20 com circunferência inscrita: 136/5 cm².
A hipotenusa mede 20 e o raio inscrito é r = (12 + 16 − 20)/2 = 4. Com B na origem, A(0,16) e C(12,0), temos D(0,4) e E(4,0). Como AF = AD = 12, F = (7,2; 6,4). A fórmula de Shoelace para B, E, F, D dá área = ½·(25,6 + 28,8) = 27,2 = 136/5 cm².
Análise das alternativas
B) 216/5, C) 480/5 e D) 128/5 não decorrem do cálculo. E) 96/5 também não: nem o quadrado BDOE (área 16) nem outra combinação simples dá esse valor. Só 136/5 confere com as coordenadas de B, E, F e D.
Referência: Geometria plana: circunferência inscrita, tangentes de mesmo comprimento a partir de um ponto externo, área de polígono por coordenadas.
Resolução comentada do VaiConcursos.