Gabarito disponível
No plano cartesiano, A(−2, 1) e B(4, 7) são dois vértices de um triângulo retângulo isósceles ABC. Sabendo que A̅B̅ é a hipotenusa, que a abscissa do ponto C é um número positivo, e que y = mx + n é a reta que passa pelo vértice C e pelo ponto médio de A̅B̅, a soma m + n é igual a:
Resolução comentada
Triângulo retângulo isósceles com hipotenusa AB: o vértice C é (4,1) e a reta CM é y = −x + 5, logo m + n = 4.
O ponto médio de AB é M(1,4), e AB tem inclinação 1. Como o triângulo é isósceles com hipotenusa AB, C está na mediatriz de AB a uma distância de M igual à metade da hipotenusa, ou seja, 3√2. Isso dá C = (1,4) ± (3,−3), isto é, (4,1) ou (−2,7). Com abscissa positiva, C = (4,1). A reta por C e M tem m = −1 e n = 5, então m + n = 4.
Análise das alternativas
As alternativas A (2), B (3), D (5) e E (6) não correspondem à reta y = −x + 5, cuja soma m + n é 4.
Referência: Geometria analítica: ponto médio, mediatriz e equação da reta.
Resolução comentada do VaiConcursos.