Gabarito disponível
Considere o seguinte teorema:
Sendo mdc(f, g) o máximo divisor comum entre os polinômios f e g, α é uma raiz comum dos polinômios f e g se, e somente se, α é uma raiz do mdc(f, g).
As raízes comuns dos polinômios
f(x) = 6x⁵ + 49x⁴ – 65x² – 6x + 16 e g(x) = 6x³ – 11x² – 4x + 4
estão contidas no intervalo:
Sendo mdc(f, g) o máximo divisor comum entre os polinômios f e g, α é uma raiz comum dos polinômios f e g se, e somente se, α é uma raiz do mdc(f, g).
As raízes comuns dos polinômios
f(x) = 6x⁵ + 49x⁴ – 65x² – 6x + 16 e g(x) = 6x³ – 11x² – 4x + 4
estão contidas no intervalo:
Resolução comentada
Acha as raízes de g e testa quais também anulam f.
g(2) = 0, então g = (x−2)(6x²+x−2) = (x−2)(3x+2)(2x−1), com raízes 2, −2/3 e 1/2. f(2) = 720 ≠ 0, então 2 não é raiz de f. f(1/2) = 0 e f(−2/3) = 0. As raízes comuns são 1/2 e −2/3, ambas em ]−1, 2[.
Análise das alternativas
Nenhuma raiz comum está em ]2,5[, ]5,8[, ]−7,−4[ ou ]−4,−1[. A raiz 2 não é comum, e ainda estaria fora de ]−1,2[ porque o intervalo é aberto.
Referência: MDC de polinômios; raízes racionais.
Resolução comentada do VaiConcursos.