Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Os vértices de um polígono são todos os números complexos não nulos que satisfazem a equação
iz² = 2z̄.
A área desse polígono é
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Os vértices de um polígono são todos os números complexos não nulos que satisfazem a equação
iz² = 2z̄.
A área desse polígono é
Resolução comentada
A equação iz² = 2z̄ tem três raízes não nulas de módulo 2, formando um triângulo equilátero.
Tomando módulos, |z|² = 2|z|, então |z| = 2 (z ≠ 0). Com z = 2e^{iθ}, a equação vira e^{i(π/2 + 3θ)} = 1, que dá 3 valores de θ, espaçados de 120°. Os vértices formam um triângulo equilátero inscrito em círculo de raio 2, de área (3√3/4)·4 = 3√3.
Análise das alternativas
A, B, D e E não correspondem à área de um triângulo equilátero de circunraio 2.
Referência: Números complexos: forma polar e raízes.
Resolução comentada do VaiConcursos.