Gabarito disponível
Seja A a matriz de ordem 100 × 100, cujos elementos são descritos pela equação
a_ij = 1 + (1 − i)(1 − j).
Considere as seguintes afirmações:
I. A é uma matriz simétrica.
II. Cada linha da matriz A forma uma progressão aritmética.
III. A é uma matriz singular.
É (São) VERDADEIRA(S):
a_ij = 1 + (1 − i)(1 − j).
Considere as seguintes afirmações:
I. A é uma matriz simétrica.
II. Cada linha da matriz A forma uma progressão aritmética.
III. A é uma matriz singular.
É (São) VERDADEIRA(S):
Resolução comentada
Os elementos aij = 1 + (1−i)(1−j) dão matriz simétrica, de linhas em PA e de posto no máximo 2.
I) aij = aji, pois o produto é simétrico. II) Em cada linha i, aij é função afim de j, logo é uma PA. III) A = 1·1ᵀ + uuᵀ, com u_i = 1 − i, tem posto ≤ 2 e ordem 100, portanto det = 0 (singular). As três afirmações são verdadeiras.
Análise das alternativas
A, B, C e D omitem alguma afirmação verdadeira.
Referência: Matrizes: simetria, progressões e posto/determinante.
Resolução comentada do VaiConcursos.