Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Sejam x, y ∈ ]0, π/2[, satisfazendo o sistema de equações
{ tan(y) tan(y/2) = cos(2x) sec(y),
{ sen(y)/cos(x) + cos(x)/sen(y) = 2.
O produto de todos os valores de x e y que resolvem esse sistema é
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Sejam x, y ∈ ]0, π/2[, satisfazendo o sistema de equações
{ tan(y) tan(y/2) = cos(2x) sec(y),
{ sen(y)/cos(x) + cos(x)/sen(y) = 2.
O produto de todos os valores de x e y que resolvem esse sistema é
Resolução comentada
A segunda equação força sen y = cos x; a primeira dá y = π/3 e x = π/6.
Em t + 1/t = 2 com t > 0, t = 1, então sen y = cos x e y = π/2 − x. Na primeira equação, sen y·tan(y/2) = 2sen²(y/2) = 1 − cos y, que deve ser igual a cos2x. Com cos2x = −cos2y, fica 1 − c = 1 − 2c², com c = cos y, logo c = 1/2. Então y = π/3 e x = π/6, e o produto é π²/18.
Análise das alternativas
A, B, C e D não correspondem ao produto (π/6)(π/3) = π²/18.
Referência: Trigonometria: arco metade, desigualdade de médias e equações trigonométricas.
Resolução comentada do VaiConcursos.