Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Considere m ∈ ℝ positivo. A sequência r_k é uma progressão geométrica crescente de termos positivos de razão q e termo inicial r₁ = q. As circunferências
C_k : (x − r_k)² + (y − mr_k)² = r_k²
são duas a duas tangentes externamente, nessa ordem. A expressão de q em função de m é
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Considere m ∈ ℝ positivo. A sequência r_k é uma progressão geométrica crescente de termos positivos de razão q e termo inicial r₁ = q. As circunferências
C_k : (x − r_k)² + (y − mr_k)² = r_k²
são duas a duas tangentes externamente, nessa ordem. A expressão de q em função de m é
Resolução comentada
Centros alinhados em y = mx e tangência externa implicam distância = soma dos raios.
Os centros (r_k, m·r_k) estão na reta y = mx, então a distância entre centros consecutivos é (r_{k+1} − r_k)√(1+m²). Para tangência externa, ela vale r_k + r_{k+1}. Com r_{k+1} = q·r_k, (q − 1)s = q + 1, onde s = √(1+m²), e q = (s+1)/(s−1) = (s+1)²/m² = ((√(m²+1) + 1)/m)².
Análise das alternativas
A) esquece o quadrado. C e D usam (s − 1), o que daria q < 1, contrariando PG crescente. E) não decorre da relação de tangência.
Referência: Geometria analítica: circunferências tangentes e PG.
Resolução comentada do VaiConcursos.