Gabarito disponível
No contexto da análise de indicadores financeiros utilizados na avaliação de desempenho fiscal, considere três variáveis quantitativas aleatórias, A, B e C, que representam diferentes métricas econômico-financeiras. Suponha que sejam conhecidas as seguintes informações: Var(A) = 1, Var(B) = 4, Var(C) = 9 e Var(A + B + C) = 13. Além disso, sabe-se que a correlação linear entre A e B bem como a entre A e C são ambas iguais a 0,5. Com base nessas informações, a correlação linear entre as variáveis B e Cé igual a
Resolução comentada
Pela variância da soma, Cov(B,C)=−3, o que dá correlação −0,5.
Var(A+B+C) = 1+4+9 + 2[Cov(A,B)+Cov(A,C)+Cov(B,C)]. Cov(A,B)=0,5·1·2=1 e Cov(A,C)=0,5·1·3=1,5. Então 13 = 14 + 2(2,5 + Cov(B,C)), logo Cov(B,C)=−3. A correlação é −3/(2·3) = −0,5.
Análise das alternativas
A (1,0) e B (0,5) dariam covariâncias positivas e variância da soma maior que 13. C (0) daria variância 19. D (−0,25) daria Cov=−1,5 e variância 16. Só −0,5 resulta em 13.
Referência: Variância da soma de variáveis aleatórias e coeficiente de correlação.
Resolução comentada do VaiConcursos.