Gabarito disponível
Suponha que o conjunto solução da equação 5x³ − 4x² + 7x − 2 = 0 é {x₁, x₂, x₃}. Se a equação polinomial P(x) = 0 apresenta {5x₁, 5x₂, 5x₃} como conjunto solução, assinale a opção que apresenta a soma dos coeficientes de P(x).
Resolução comentada
Substituindo x = y/5, obtém-se P(y) = y³/25 − 4y²/25 + 7y/5 − 2, cuja soma dos coeficientes é P(1) = −18/25.
Se y = 5x é raiz de P, então x = y/5 satisfaz a equação original: 5(y/5)³ − 4(y/5)² + 7(y/5) − 2 = 0. Isso dá P(y) = y³/25 − 4y²/25 + 7y/5 − 2. A soma dos coeficientes é P(1) = 1/25 − 4/25 + 35/25 − 50/25 = −18/25. Se a equação fosse multiplicada por 25, a soma seria −18, mas o gabarito considera P obtido diretamente pela substituição.
Análise das alternativas
B) −19/15, C) −21/20, D) −17/35 e E) −17/20: não correspondem a P(1) para o polinômio obtido pela substituição x = y/5.
Referência: Transformação de raízes de polinômios; soma dos coeficientes = P(1).
Resolução comentada do VaiConcursos.