Gabarito disponível
Seja z um número complexo e i a unidade imaginária. O conjunto dos pontos z do plano complexo que satisfaz a equação |z − i| = 2|z − 1| é uma circunferência. Sobre essa circunferência, assinale a opção correta.
Resolução comentada
O lugar geométrico é a circunferência de centro (4/3, −1/3), e a soma das coordenadas do centro é 1.
Com z = x+yi, a equação |z−i| = 2|z−1| fica x²+(y−1)² = 4[(x−1)²+y²]. Simplificando, x²+y² − (8/3)x + (2/3)y + 1 = 0. O centro é (4/3, −1/3) e o raio² é 16/9 + 1/9 − 1 = 8/9, ou seja, r = 2√2/3. A soma das coordenadas do centro é 4/3 − 1/3 = 1.
Análise das alternativas
A) A maior coordenada do centro é 4/3, que não é menor que −1/4. B) O raio é 2√2/3 ≈ 0,94, que não é inteiro. D) O produto das coordenadas é −4/9, que não é maior que 2. E) O raio é irracional (2√2/3), então não é racional.
Referência: Lugar geométrico no plano complexo (circunferência de Apolônio).
Resolução comentada do VaiConcursos.