Gabarito disponível
Sabendo que 2sen(α + β) = sen(α) + sen(β), com α + β ≠ πk, k ∈ ℤ, assinale a opção que apresenta o valor de tg(α/2) . tg(β/2).
Resolução comentada
Pelas fórmulas de soma em produto, tg(α/2)·tg(β/2) = 1/3.
Use sen(α+β) = 2sen((α+β)/2)cos((α+β)/2) e sen α + sen β = 2sen((α+β)/2)cos((α−β)/2). Como α+β ≠ πk, pode-se cancelar sen((α+β)/2) e obter 2cos((α+β)/2) = cos((α−β)/2). Abrindo, 2(cc − ss) = cc + ss, com c = cos(α/2)... no sentido de cc = cos(α/2)cos(β/2) e ss = sen(α/2)sen(β/2). Daí cc = 3ss e tg(α/2)tg(β/2) = ss/cc = 1/3.
Análise das alternativas
B) 1/4, C) 1/5, D) 1/6 e E) 1/8: não satisfazem a relação cc = 3ss obtida acima.
Referência: Transformações trigonométricas (prostaférese) e arcos metade.
Resolução comentada do VaiConcursos.