Questão 12 — Geometria Espacial — Paralelepípedo (Matemática) — Marinha do Brasil — Diretoria de Ensino da Marinha · Marinha do Brasil — Escola Naval 2021

Matemática Geometria Espacial — Paralelepípedo

Marinha do Brasil — Diretoria de Ensino da Marinha 2021

Marinha do Brasil — Escola Naval · Admissão à Escola Naval (CPAEN) · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Suponha que a base de um paralelepípedo reto seja um paralelogramo de lados a e b. Suponha, ainda, que o ângulo obtuso desse paralelogramo seja β. Sabendo que a menor diagonal do paralelepípedo é igual à maior diagonal do paralelogramo, assinale a opção que apresenta o volume do paralelepípedo em função de a, b e β.

Selecione uma alternativa A) 2ab(sen(β)√(−ab.cos(β))) B) 2ab(sen(β)√(ab.sen(β))) C) 2ab(cos(β)√(−ab.sen(β))) D) 2ab(−cos(β)√(−ab.cos(β))) E) 2ab(−sen(β)√(ab.cos(β)))

Resolução comentada

A altura é h = 2√(−ab·cosβ), e o volume é 2ab·senβ·√(−ab·cosβ).

As diagonais da base são d² = a²+b²+2ab·cosβ (a menor, pois cosβ<0) e D² = a²+b²−2ab·cosβ (a maior). No paralelepípedo reto, a menor diagonal é √(d²+h²). Igualando à maior diagonal da base, h² = −4ab·cosβ, então h = 2√(−ab·cosβ). A área da base é ab·senβ. Logo V = 2ab·senβ·√(−ab·cosβ).

Análise das alternativas

B) usa senβ dentro da raiz, o que não decorre da condição das diagonais. C) troca senβ por cosβ fora da raiz e usa senβ dentro, invertendo os papéis. D) usa −cosβ como fator da área da base, quando a área é ab·senβ. E) fica com sinal negativo e cosβ dentro da raiz, o que não dá um volume positivo coerente.

Referência: Lei dos cossenos; volume = área da base × altura.

Resolução comentada do VaiConcursos.