Questão 19 — Funções — Estudo de Funções com Derivadas (Zeros) (Matemática) — Marinha do Brasil — Diretoria de Ensino da Marinha · Marinha do Brasil — Escola Naval 2021

Matemática Funções — Estudo de Funções com Derivadas (Zeros)

Marinha do Brasil — Diretoria de Ensino da Marinha 2021

Marinha do Brasil — Escola Naval · Admissão à Escola Naval (CPAEN) · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Seja a função f definida por f(x) = ln(x²) − 1/x + k, com x ∈ R*₋ e k ∈ R. Sabendo que f tem apenas um zero real, o valor de k é:

Selecione uma alternativa A) 2 − ln(2). B) ln(2) − 2. C) 2 − ln(4). D) ln(4) − 2. E) ln(4) − 4.

Resolução comentada

O único zero ocorre no mínimo da função, em x = −1/2, o que dá k = ln4 − 2.

Para x<0, f'(x) = 2/x + 1/x² = (2x+1)/x², que se anula em x = −1/2. A derivada é negativa à esquerda desse ponto e positiva à direita, então ele é um mínimo global. Nas duas extremidades (x→−∞ e x→0⁻), f tende a +∞. Assim, f tem um único zero apenas se o mínimo for zero: f(−1/2) = ln(1/4) + 2 + k = 0, então k = ln4 − 2.

Análise das alternativas

A) 2−ln2, B) ln2−2, C) 2−ln4 e E) ln4−4: não anulam o valor mínimo f(−1/2) = −ln4 + 2 + k. Com A, B, C ou E, o mínimo seria positivo (nenhum zero) ou negativo (dois zeros).

Referência: Estudo de extremos de funções por derivada.

Resolução comentada do VaiConcursos.