Gabarito disponível
Sejam as funções f e g, definidas por f(x) = x⁶ − 2x⁵ − x⁴ + 10x³ − 16x² − 8x + 16 e g(x) = x³ − x² − 4x + 4. A soma dos valores inteiros que satisfazem a desigualdade 0 ≤ f(x)/g(x) ≤ 4 é igual a:
Resolução comentada
f(x) é divisível por g(x); a desigualdade vira 0 ≤ x³−x²+2x+4 ≤ 4, com x ≠ 1, 2, −2.
Temos g = (x−1)(x−2)(x+2), e f se anula em 1, 2 e −2. A divisão dá f/g = x³−x²+2x+4 = (x+1)(x²−2x+4). Como x²−2x+4 > 0 sempre, a condição ≥ 0 equivale a x ≥ −1. A condição ≤ 4 dá x(x²−x+2) ≤ 0, ou seja, x ≤ 0. Logo −1 ≤ x ≤ 0. Os inteiros são −1 e 0, e a soma é −1.
Análise das alternativas
Os inteiros −2, 1 e 2 anulam g e não pertencem ao domínio. O intervalo −1 ≤ x ≤ 0 só tem os inteiros −1 e 0, cuja soma é −1. Os demais valores (−2, 0, 1, 2) não resultam dessa soma.
Referência: Fatoração de polinômios e inequações racionais.
Resolução comentada do VaiConcursos.