Gabarito disponível
Um ângulo agudo de um triângulo retângulo ABC, reto em C, é igual a α. Sabe-se que a hipotenusa desse triângulo e os prolongamentos de CA e CB são tangentes a uma circunferência de raio R. Desse modo, o comprimento da hipotenusa é igual a:
Resolução comentada
A circunferência é ex-inscrita e R = p (semiperímetro), então c = R√2/[2cos(α/2)cos(45°−α/2)].
Uma circunferência tangente à hipotenusa e aos prolongamentos dos catetos é ex-inscrita, com R igual ao semiperímetro. Logo R = (c·senα + c·cosα + c)/2, e c = 2R/(1 + senα + cosα). Como 1 + senα + cosα = 2cos(α/2)(sen(α/2) + cos(α/2)) = 2√2·cos(α/2)·cos(45° − α/2), obtém-se c = R√2/[2cos(α/2)cos(45° − α/2)].
Análise das alternativas
B) e D) trazem √3, que não aparece na dedução. C) e E) trocam cossenos por senos de forma que não se obtém na fatoração.
Referência: Trigonometria: triângulo retângulo e circunferência ex-inscrita.
Resolução comentada do VaiConcursos.