Gabarito disponível
Seja γ uma curva em ℜ³ percorrida no instante t = 1 com velocidade igual a 2 unidades de velocidade e no sentido do vetor tangente i⃗ − 2j⃗ + 2k⃗ . Se t = 1 corresponde ao ponto (1,1,1) em γ, a taxa de variação da função f(x,y,z) = x + y + xy, em relação a t, ao longo de γ em t = 1 é
Resolução comentada
A taxa de variação é ∇f · γ′ = −4/3.
O vetor velocidade tem módulo 2 e direção (1,−2,2)/3, logo γ′ = (2/3, −4/3, 4/3). O gradiente ∇f = (1+y, 1+x, 0) vale (2,2,0) em (1,1,1). Pela regra da cadeia, df/dt = 2·(2/3) + 2·(−4/3) = −4/3.
Análise das alternativas
As demais opções vêm de não normalizar o vetor tangente, de esquecer o fator de velocidade 2 ou de erros no gradiente.
Referência: Cálculo: regra da cadeia para funções de várias variáveis ao longo de curvas.
Resolução comentada do VaiConcursos.