Gabarito disponível
Sejam P₁(x) = x³ + 3x² − 6x + a e P₂(x) = x³ − 3x² − x + b polinômios com a, b ∈ ℝ e raízes, respectivamente, em progressão geométrica e progressão aritmética. Assinale o intervalo que apresenta o valor máximo admitido pela função a seguir:
f(x) = |a|sen(4x − 7π/6) + |b|cos(4x − 7π/6)
f(x) = |a|sen(4x − 7π/6) + |b|cos(4x − 7π/6)
Resolução comentada
|a|=8 e |b|=3, então o máximo de f é √73 ≈ 8,54.
Em P₁, as raízes em PG são r/q, r, rq. A soma dá r(1/q+1+q)=−3 e a soma dos produtos dois a dois dá r²(1/q+1+q)=−6, logo r=2. O produto das raízes é r³=8=−a, então a=−8. Em P₂, as raízes em PA são s−d, s, s+d. A soma dá s=1 e 3s²−d²=−1 dá d=2. O produto é 1·(1−4)=−3=−b, então b=3. O valor máximo de |a|senθ+|b|cosθ é √(64+9)=√73≈8,54, que está em [8,9].
Análise das alternativas
As demais faixas não contêm √73 ≈ 8,54.
Referência: Relações de Girard; amplitude de A·senθ + B·cosθ = √(A²+B²).
Resolução comentada do VaiConcursos.