Gabarito disponível
Seja a equação do terceiro grau em x:
x³ + p₁x² + p₂x + p₃ = 0
onde p₁ < p₂ < p₃ são números primos menores que 100. Para que a razão entre a soma e o produto das raízes da equação seja a maior possível, o valor de p₂ + p₃ deve ser:
x³ + p₁x² + p₂x + p₃ = 0
onde p₁ < p₂ < p₃ são números primos menores que 100. Para que a razão entre a soma e o produto das raízes da equação seja a maior possível, o valor de p₂ + p₃ deve ser:
Resolução comentada
Razão soma/produto das raízes = p₁/p₃; maximizada por primos consecutivos grandes: 67, 71, 73.
Por Girard, a soma das raízes é −p₁ e o produto é −p₃, logo a razão é p₁/p₃. Isso é maximizado com três primos consecutivos, o mais próximos entre si e grandes. Testando as ternas, 67, 71, 73 dá 67/73 ≈ 0,918, a maior (71/73/79 dá ≈ 0,899; 79/83/89 dá ≈ 0,888). Logo p₂ + p₃ = 71 + 73 = 144.
Análise das alternativas
152, 162, 172 e 196 correspondem a ternas com razão p₁/p₃ menor.
Referência: Relações de Girard; números primos.
Resolução comentada do VaiConcursos.