Gabarito disponível
Notação (página inicial da prova): Re(z) = parte real do número z ∈ ℂ; Im(z) = parte imaginária do número z ∈ ℂ
Se z = ((1 + √3i)/(1 − √3i))¹⁰, então o valor de 2 arcsen(Re(z)) + 5 arctg(2 Im(z)) é igual a
Se z = ((1 + √3i)/(1 − √3i))¹⁰, então o valor de 2 arcsen(Re(z)) + 5 arctg(2 Im(z)) é igual a
Resolução comentada
z = −1/2 + i√3/2, e a expressão vale 4π/3.
1 + √3i tem módulo 2 e argumento 60°. 1 − √3i tem módulo 2 e argumento −60°. O quociente tem módulo 1 e argumento 120°. Elevando à 10ª potência, o argumento é 1200° ≡ 120°, então z = −1/2 + i√3/2. Assim 2·arcsen(−1/2) = −π/3 e 5·arctg(√3) = 5π/3, e a soma é 4π/3.
Análise das alternativas
A, B, C e E resultam de erro no argumento de z ou nos valores de arcsen e arctg.
Referência: Forma trigonométrica e 1ª fórmula de De Moivre.
Resolução comentada do VaiConcursos.