Gabarito disponível
Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos Â, B̂ e Ĉ, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.
Resolução comentada
Se a, b, c estão em P.A., então sen A + sen C = 2 sen(A+C).
Em P.A., a + c = 2b. Pela lei dos senos, a = 2R·sen A e assim por diante, então sen A + sen C = 2 sen B. Como B = π − (A + C), sen B = sen(A + C). Logo 2 sen(A + C) = sen A + sen C.
Análise das alternativas
B) e E) Erradas: cos(A+C) = −cos B, o que não produz a relação. C) e D) Erradas: sen(A−C) e cos(A−C) não se relacionam dessa forma com a P.A.
Referência: Trigonometria – lei dos senos e progressão aritmética
Resolução comentada do VaiConcursos.