Gabarito disponível
Considere T(x, y, z) o operador linear de ℝ³ que apresenta os seguintes valores próprios e vetores próprios:
λ₁ = 1 e v⃗₁ = (1, 1, 0); λ₂ = – 1 e v⃗₂ = (0, 1, 1); e λ₃ = 2 e v⃗₃ = (0, 0, 1).
O valor de T(2, –5, 7) é
λ₁ = 1 e v⃗₁ = (1, 1, 0); λ₂ = – 1 e v⃗₂ = (0, 1, 1); e λ₃ = 2 e v⃗₃ = (0, 0, 1).
O valor de T(2, –5, 7) é
Resolução comentada
Decompõe o vetor nos autovetores e aplica T multiplicando cada componente pelo autovalor.
Escreve-se (2, –5, 7) = a(1,1,0) + b(0,1,1) + c(0,0,1). Da primeira coordenada, a = 2. Da segunda, a + b = –5, logo b = –7. Da terceira, b + c = 7, logo c = 14. Então T = 1·2·(1,1,0) + (–1)(–7)(0,1,1) + 2·14·(0,0,1) = (2,2,0) + (0,7,7) + (0,0,28) = (2, 9, 35).
Análise das alternativas
As outras alternativas vêm de erros de sinal ou de coeficientes na decomposição, ou de esquecer de multiplicar cada componente pelo autovalor correspondente.
Referência: Álgebra Linear – Autovalores e autovetores; operador linear definido na base de autovetores
Resolução comentada do VaiConcursos.