Questão 13 — Equação do 2º Grau — Sinais das Raízes (Matemática) — Colégio Militar de Fortaleza · Colégio Militar de Fortaleza (Exército Brasileiro – DECEx/DEPA) 2023

Matemática Equação do 2º Grau — Sinais das Raízes

Colégio Militar de Fortaleza 2023 Fundamental

Colégio Militar de Fortaleza (Exército Brasileiro – DECEx/DEPA) · Admissão ao 1º ano do Ensino Médio

Gabarito disponível

Considere k e w números reais não nulos, que a equação do 2° grau −x² + 2k²x + w² − 1 = 0 e que x₁ e x₂ são raízes da equação. Podemos afirmar que:

Selecione uma alternativa A) Se x₁ e x₂ são positivos, k ∈ ℝ e − 1 < w < 1. B) Se x₁ e x₂ são positivos, k ∈ ℝ e w < −1 ou w > 1. C) Se x₁ e x₂ são negativos, k > 0 e w < −1 ou w > 1. D) Se x₁ e x₂ são negativos, k ∈ ℝ e w < −1 ou w > 1. E) Se x₁ e x₂ possuem sinais opostos, k ∈ ℝ e − 1 < w < 1.

Resolução comentada

Analisar soma e produto das raízes de x² − 2k²x − (w² − 1) = 0.

Reescrevendo, a soma das raízes é 2k² > 0 (pois k ≠ 0) e o produto é 1 − w². Como a soma é positiva, as raízes não podem ser ambas negativas. Para ambas positivas, o produto deve ser positivo: 1 − w² > 0, ou seja, −1 < w < 1, e isso vale para qualquer k real não nulo.

Análise das alternativas

B exige w² > 1, o que daria produto negativo (sinais opostos). C e D falam em raízes negativas, impossível com soma positiva. E diz sinais opostos com −1 < w 1.

Referência: Equação do 2º grau: relações de Girard e sinais das raízes.

Resolução comentada do VaiConcursos.