Gabarito disponível
log₂(x + 5) + (1/2)log₂(x + 8) = 1/2
Sobre a equação supracitada, pode-se afirmar que:
Resolução comentada
Equação logarítmica que se reduz a uma cúbica, com uma única raiz válida, irracional.
Multiplicando por 2: 2·log₂(x+5) + log₂(x+8) = 1, ou seja, (x+5)²(x+8) = 2. Com u = x+5, fica u³ + 3u² − 2 = 0, que fatora em (u+1)(u²+2u−2) = 0, com raízes u = −1 e u = −1 ± √3. A condição de existência exige x > −5, isto é, u > 0. Só serve u = −1+√3, logo x = −6+√3, uma única raiz real irracional.
Análise das alternativas
A) Errada: existe uma solução válida, x = −6+√3. C) Errada: as outras raízes da cúbica (x = −6 e x = −6−√3) violam x > −5. D) Errada: só há uma raiz, e ela é irracional. E) Errada: com uma só raiz, a soma é −6+√3, que é irracional.
Referência: Equações logarítmicas; condição de existência; propriedades dos logaritmos
Resolução comentada do VaiConcursos.