Gabarito disponível
Fernando, um aluno aplicado em matemática, propôs a seus colegas o desafio de descobrirem os coeficientes e as raízes de três equações do 2º grau, todas na forma ax² + bx + c = 0.
Ele afirmou que:
• Os coeficientes dos termos de maiores graus da 2ª e da 3ª equações são iguais ao menor número inteiro positivo.
• O conjunto solução da 1ª equação é {−1,−2} e a 2ª equação possui duas raízes reais e iguais a 3;
• O coeficiente do termo de maior grau da 1ª equação é igual ao oposto do coeficiente de maior grau da 3ª equação;
• O coeficiente de x da 3ª equação é a metade do coeficiente de x da 2ª equação.
• O produto das raízes da 3ª equação é igual a unidade.
Com base nesses dados, marque a alternativa FALSA.
Ele afirmou que:
• Os coeficientes dos termos de maiores graus da 2ª e da 3ª equações são iguais ao menor número inteiro positivo.
• O conjunto solução da 1ª equação é {−1,−2} e a 2ª equação possui duas raízes reais e iguais a 3;
• O coeficiente do termo de maior grau da 1ª equação é igual ao oposto do coeficiente de maior grau da 3ª equação;
• O coeficiente de x da 3ª equação é a metade do coeficiente de x da 2ª equação.
• O produto das raízes da 3ª equação é igual a unidade.
Com base nesses dados, marque a alternativa FALSA.
Resolução comentada
A diferença entre as raízes da 3ª equação é irracional, logo D é falsa.
Pelos dados, a 1ª equação é −x² − 3x − 2 = 0, a 2ª é x² − 6x + 9 = 0 e a 3ª é x² − 3x + 1 = 0. As raízes da 3ª são (3 ± √5)/2, e a diferença entre elas é √5, um número irracional. Por isso D é a falsa.
Análise das alternativas
A) Verdadeira: −1 − 3 − 2 = −6 = 2·(−3). B) Verdadeira: soma das raízes = −3 + 6 + 3 = 6, que é o oposto de −6. C) Verdadeira: razão 1/(−2) = −1/2, que pertence a ℚ₋.
Referência: Relações de Girard
Resolução comentada do VaiConcursos.