Gabarito disponível
Um triângulo retângulo tem perímetro igual a ℓ√5, em que ℓ é o comprimento da hipotenusa. Se α e β são seus ângulos agudos, com α < β, então sen(β − α) é igual a
Resolução comentada
Perímetro dá sen α + cos α = √5 − 1; sen(β−α) = cos 2α.
Com ℓ = 1, sen α + cos α = √5 − 1. Elevando ao quadrado, 1 + sen 2α = 6 − 2√5, então sen 2α = 5 − 2√5. Como β = 90° − α, sen(β−α) = cos 2α = √(1 − sen²2α) = √(1 − (45 − 20√5)) = √(20√5 − 44), tomando o valor positivo pois α < 45°.
Análise das alternativas
A e B são valores de sen 2α ou expressões sem raiz, e não de cos 2α. C e E são resultados de erros ao calcular 1 − sen²2α.
Referência: Trigonometria no triângulo retângulo; arcos duplos.
Resolução comentada do VaiConcursos.