Gabarito disponível
Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados A̅B̅, B̅C̅ e A̅C̅, respectivamente, tais que
a) P é o ponto médio de A̅B̅;
b) M é o ponto médio de B̅C̅;
c) PN é a bissetriz do ângulo AP̂C.
Então, o comprimento do segmento M̅N̅ é igual a
a) P é o ponto médio de A̅B̅;
b) M é o ponto médio de B̅C̅;
c) PN é a bissetriz do ângulo AP̂C.
Então, o comprimento do segmento M̅N̅ é igual a
Resolução comentada
Bissetriz interna em APC dá AN; coordenadas fornecem MN² = 10 − 5√3.
CP é mediana e altura, com CP = √3 e ângulo APC = 90°. Pelo teorema da bissetriz, AN/NC = PA/PC = 1/√3, logo AN = 2/(1+√3) = √3 − 1. Com A = (0,0), B = (2,0), C = (1,√3): N = ((√3−1)/2, (3−√3)/2) e M = (3/2, √3/2). Então MN² = [(4−√3)² + (2√3−3)²]/4 = (40 − 20√3)/4 = 10 − 5√3.
Análise das alternativas
As demais opções são resultados de erros algébricos na posição de N ou no cálculo de MN². Só (D) é coerente com MN² = 10 − 5√3.
Referência: Teorema da bissetriz interna; geometria analítica.
Resolução comentada do VaiConcursos.