Gabarito disponível
A menor raiz real positiva da equação
arctg(x.tg(arcsen(3/5))) = 2π/(x+2)
encontra-se no intervalo:
arctg(x.tg(arcsen(3/5))) = 2π/(x+2)
encontra-se no intervalo:
Resolução comentada
Simplificar tg(arcsen 3/5) = 3/4 e localizar a raiz por monotonicidade.
Como tg(arcsen 3/5) = 3/4, a equação vira arctg(3x/4) = 2π/(x+2). O lado esquerdo cresce e o direito decresce para x > 0, então há uma raiz única. Em x=3: 1,152 1,047. Logo a raiz está em (3,4].
Análise das alternativas
Em x ≤ 3 o lado esquerdo ainda é menor que o direito, e em x > 4 já é maior; portanto a raiz não está em (0,1], (1,2], (2,3] nem (4,5]. A alternativa correta é D.
Referência: Funções trigonométricas inversas; teorema do valor intermediário
Resolução comentada do VaiConcursos.