Gabarito disponível
Para que o sistema
x + y = 1
x³ + y³ = c²
admita apenas soluções reais, todos os valores reais de c pertencem ao conjunto
x + y = 1
x³ + y³ = c²
admita apenas soluções reais, todos os valores reais de c pertencem ao conjunto
Resolução comentada
Discriminante não negativo implica c² ≥ 1/4, isto é, |c| ≥ 1/2.
De x + y = 1, x³ + y³ = 1 − 3xy = c², então xy = (1 − c²)/3. x e y são raízes de t² − t + (1 − c²)/3 = 0, e para serem reais é preciso Δ = 1 − 4(1 − c²)/3 ≥ 0. Isso dá 4c² ≥ 1, ou c ≤ −1/2 ou c ≥ 1/2.
Análise das alternativas
A, B, C e D usam limites de 1/4 (confundindo c² com c) ou intervalos que não cobrem todos os c com |c| ≥ 1/2. Somente E descreve ]−∞, −1/2] ∪ [1/2, ∞[.
Referência: Soma e produto de raízes; discriminante da equação do 2º grau.
Resolução comentada do VaiConcursos.