Gabarito disponível
Considere o sistema abaixo:
{ y² + u² + v² + w² = 4x − 1
{ x² + u² + v² + w² = 4y − 1
{ x² + y² + v² + w² = 4u − 1.
{ x² + y² + u² + w² = 4v − 1
{ x² + y² + u² + v² = 4w − 1
Se x = a, y = b, u = c, v = d e w = e constituem a solução do sistema, assinale a opção que apresenta a soma a + b + c + d + e.
{ y² + u² + v² + w² = 4x − 1
{ x² + u² + v² + w² = 4y − 1
{ x² + y² + v² + w² = 4u − 1.
{ x² + y² + u² + w² = 4v − 1
{ x² + y² + u² + v² = 4w − 1
Se x = a, y = b, u = c, v = d e w = e constituem a solução do sistema, assinale a opção que apresenta a soma a + b + c + d + e.
Resolução comentada
O sistema equivale a uma soma de quadrados nula, o que dá todas as incógnitas iguais a 1/2 e soma 5/2.
Somando as cinco equações, 4(x²+y²+u²+v²+w²) = 4(x+y+u+v+w) − 5. Reorganizando, Σ(xᵢ² − xᵢ + 1/4) = 0, isto é, Σ(xᵢ − 1/2)² = 0. Em reais, cada termo é zero, então todas as incógnitas valem 1/2. A soma é 5·(1/2) = 5/2.
Análise das alternativas
B) 2/7, C) 1/7, D) 1/4 e E) 2/3: não correspondem a cinco incógnitas iguais a 1/2, que é a única solução real do sistema.
Referência: Completamento de quadrados; soma de quadrados nula.
Resolução comentada do VaiConcursos.