Gabarito disponível
No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP).
Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3º esquadrão, 9 do 2º esquadrão e 2 do 1º esquadrão.
Os demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3º esquadrão, 4 do 2º esquadrão e 2 do 1º esquadrão.
Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publicada pela Nascentv em uma rede social.
Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção honrosa ficaram agachados, sempre numa única ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de uma fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila:
• as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2º esquadrão que receberam medalha;
• os alunos do 1º esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro; e
• os alunos do 3º esquadrão, que receberam medalha, ficaram, também, um ao lado do outro.
Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido feitas.
Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3º esquadrão, 9 do 2º esquadrão e 2 do 1º esquadrão.
Os demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3º esquadrão, 4 do 2º esquadrão e 2 do 1º esquadrão.
Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publicada pela Nascentv em uma rede social.
Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção honrosa ficaram agachados, sempre numa única ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de uma fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila:
• as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2º esquadrão que receberam medalha;
• os alunos do 1º esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro; e
• os alunos do 3º esquadrão, que receberam medalha, ficaram, também, um ao lado do outro.
Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido feitas.
Resolução comentada
Combinatória com extremidades fixadas e dois blocos: 72 · 12 · 9! = 864 · 9!.
Os alunos com menção honrosa ficam numa única ordem fixa, o que dá 1 modo. Nas pontas da fila de medalhistas vão 2 alunos do 2º esquadrão, em 9·8 = 72 modos. No meio ficam 12 alunos: 7 do 2º esquadrão, o bloco dos 2 do 1º e o bloco dos 3 do 3º. São 7 + 2 = 9 unidades, permutadas de 9! modos. Dentro dos blocos há 2! · 3! = 12 permutações. Total: 72 · 12 · 9! = 864 · 9!.
Análise das alternativas
A, B e C omitem algum fator: a permutação interna dos blocos (2! · 3! = 12) ou a escolha ordenada dos alunos das extremidades (72). Só a D inclui todos.
Referência: Princípio multiplicativo e permutações com agrupamentos (blocos).
Resolução comentada do VaiConcursos.