Questão 25 — Polinômios (Matemática) — Comando da Aeronáutica — Diretoria de Ensino · Comando da Aeronáutica 2018

Matemática Polinômios

Comando da Aeronáutica — Diretoria de Ensino 2018 Médio

Comando da Aeronáutica · Exame de Admissão aos CFOAV, CFOINT e CFOINF 2019 · Caderno Versão A

Gabarito disponível

Considere a ∈ IR e os polinômios P(x) = (a/2)x⁶ − 26x³ − 27 e A(x) = 2x² + 4x + a, tais que seus gráficos se intersectam em um único ponto de ordenada nula.
Sabendo também que, graficamente, A(x) tangencia o eixo O⃡x, analise as afirmativas abaixo e escreva V para verdadeira e F para falsa.
( ) O gráfico de P(x) corta o eixo O⃡x em dois pontos.
( ) Os afixos das raízes de P(x) que possuem menor módulo formam um triângulo cujo perímetro mede 3√3 unidades de comprimento.
( ) A soma das raízes imaginárias de P(x) é igual a −2
A sequência correta é

Selecione uma alternativa A) V – V – V B) V – F – F C) F – V – F D) F – V – V

Resolução comentada

A tangência de A(x) com o eixo x dá a = 2. Com isso, P(x) = x⁶ − 26x³ − 27 e as três afirmativas são verdadeiras.

A tangência exige discriminante nulo: 16 − 8a = 0, logo a = 2. Então P(x) = x⁶ − 26x³ − 27 = (x³ − 27)(x³ + 1), e P(−1) = 0, como exigido. Raízes reais: 3 e −1, dois pontos no eixo, então a 1ª é V. As raízes de menor módulo (x³ = −1) têm módulo 1 e formam um triângulo equilátero inscrito na circunferência unitária, de lado √3 e perímetro 3√3, então a 2ª é V. Em x³ = 27 as raízes não reais somam −3 (a soma das três é 0 e a real é 3). Em x³ = −1 elas somam 1 (a soma das três é 0 e a real é −1). Total: −3 + 1 = −2, então a 3ª é V.

Análise das alternativas

B, C e D contêm pelo menos um F, mas as três afirmativas são verdadeiras. Só A (V–V–V) está correta.

Referência: Polinômios: discriminante, fatoração e raízes complexas da unidade.

Resolução comentada do VaiConcursos.