Gabarito disponível
O fluxo do rotacional do campo vetorial definido no domínio da função F⃗(x,y,z)=(3z,5x,−2y) através da superfície S do cilindro x²+y²=1, situada abaixo do plano y−z+3=0 e acima do plano xy, com normal exterior, é igual a
Resolução comentada
rot F=(−2,3,5); o fluxo pela lateral do cilindro é 3π.
rot F=(−2,3,5). Na lateral, a normal exterior é (x,y,0) e dS=dz dθ, com z de 0 a y+3. O integrando é (−2x+3y) = −2cosθ+3senθ. Assim o fluxo é ∫₀^{2π}(−2cosθ+3senθ)(senθ+3)dθ. Só sobrevive o termo 3sen²θ, cuja integral é 3π.
Análise das alternativas
As demais valores (6π−9, 3π+9, 3π+18, 6π) vêm de somar termos que se anulam por simetria ou de errar o coeficiente de sen²θ.
Referência: Teorema de Stokes; fluxo do rotacional.
Resolução comentada do VaiConcursos.