Gabarito disponível
Os coeficientes da equação polinomial x³ – 2022x² + mx + n = 0, na incógnita x, são números inteiros e suas três soluções são positivas. Apenas uma delas é um número inteiro que, por sua vez, é igual a soma das outras duas. No plano cartesiano de eixos ortogonais nm, todos os pares ordenados (m, n) que satisfazem as condições dadas pertencem ao gráfico de uma reta, cujos coeficientes angular e linear são, respectivamente,
Resolução comentada
A reta tem coeficiente angular −1011 e linear 1011³.
Sejam as raízes a = b + c, com a inteira. Por Girard, a+b+c = 2a = 2022, logo a = 1011. Então m = a(b+c) + bc = 1011² + bc e n = −abc = −1011·bc. Eliminando bc, n = −1011(m − 1011²) = −1011m + 1011³.
Análise das alternativas
A e B) Incorreta: o coeficiente angular é −1011, não −2022. C e D) Incorreta: o coeficiente linear é 1011³, não 1011² nem 1011.
Referência: Relações de Girard.
Resolução comentada do VaiConcursos.