Gabarito disponível
Considere um ponto P cujas coordenadas (x,y), x,y ∈ ℝ, satisfazem o sistema
{ 4 cossec(α)x − 6 cotg(α)y = 4 sen(α)
{ 12 cossec(α)y − 8 cotg(α)x = 0
onde α é um ângulo em radianos diferente de kπ (k ∈ ℤ). O lugar geométrico descrito pelos pontos P, conforme se varia o ângulo α, é um segmento de:
{ 4 cossec(α)x − 6 cotg(α)y = 4 sen(α)
{ 12 cossec(α)y − 8 cotg(α)x = 0
onde α é um ângulo em radianos diferente de kπ (k ∈ ℤ). O lugar geométrico descrito pelos pontos P, conforme se varia o ângulo α, é um segmento de:
Resolução comentada
O sistema leva a x = 1 para todo α, então o lugar geométrico é um segmento de reta vertical.
Da segunda equação, 12y = 8cosα·x, logo y = (2/3)x·cosα. Substituindo na primeira, multiplicada por sinα, obtém-se 4x − 6cosα·y = 4sen²α, ou seja, 4x − 4x·cos²α = 4sen²α. Daí x·sen²α = sen²α, e como senα ≠ 0, x = 1. Com y = (2/3)cosα variando em [−2/3, 2/3], o lugar geométrico é um segmento da reta vertical x = 1.
Análise das alternativas
A está errada porque y varia e x é constante. C, D e E estão erradas porque x é constante, o que exclui reta inclinada, elipse e parábola.
Referência: Geometria Analítica – lugares geométricos; identidades trigonométricas.
Resolução comentada do VaiConcursos.