Gabarito disponível
Um antigo professor de matemática escreveu, no quadro, números com as seguintes características: começavam e terminavam com o algarismo 1 e os demais algarismos eram iguais a 2, de forma que a quantidade de algarismos 2 indicava a ordem do número. Por exemplo, o número 12222221 é o sexto número que o professor escreveu, pois possui 6 algarismos 2. Veja abaixo os seis primeiros números que o professor escreveu no quadro:
1º → 121
2º → 1221
3º → 12221
4º → 122221
5º → 1222221
6º → 12222221
…
O professor fez a seguinte pergunta à turma: “Dentre os 2025 números escritos, quantos são divisíveis por 3?” A resposta correta é
1º → 121
2º → 1221
3º → 12221
4º → 122221
5º → 1222221
6º → 12222221
…
O professor fez a seguinte pergunta à turma: “Dentre os 2025 números escritos, quantos são divisíveis por 3?” A resposta correta é
Resolução comentada
São 675 números divisíveis por 3.
O n-ésimo número tem soma dos algarismos 1 + 2n + 1 = 2n + 2. Ela é múltipla de 3 quando n ≡ 2 (mod 3), ou seja, n = 2, 5, 8, ..., 2024. A quantidade é (2024 − 2)/3 + 1 = 675.
Análise das alternativas
A, B, D e E) Contagens que erram o número de termos da sequência 2, 5, ..., 2024.
Referência: Critério de divisibilidade por 3
Resolução comentada do VaiConcursos.