Gabarito disponível
Sejam c, m, p e a elementos que pertencem ao conjunto dos dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Tais elementos formam o subconjunto numérico {c, m, p, a}, com c ≥ m ≥ p ≥ a, e cuja moda é igual a 8.
Considere a dízima periódica abaixo, construída utilizando-se os algarismos c, m, p e a:
0,0 c m p a c m p a c m p a c m p a ... = 0,0 c̅ m̅ p̅ a̅
Sua fração geratriz irredutível é ☺/1111, em que ☺ representa o numerador desconhecido.
Assim, pode-se afirmar corretamente que a soma dos algarismos de ☺ é um número
Considere a dízima periódica abaixo, construída utilizando-se os algarismos c, m, p e a:
0,0 c m p a c m p a c m p a c m p a ... = 0,0 c̅ m̅ p̅ a̅
Sua fração geratriz irredutível é ☺/1111, em que ☺ representa o numerador desconhecido.
Assim, pode-se afirmar corretamente que a soma dos algarismos de ☺ é um número
Resolução comentada
A fração geratriz de 0,0(cmpa) exige que cmpa seja múltiplo de 90, o que leva a 8820 e ☺ = 98.
0,0(cmpa) repetido vale N/99990, em que N é o número cmpa. Como 99990 = 90 · 1111, tem-se ☺ = N/90, então N é múltiplo de 90: a = 0 e soma dos dígitos múltipla de 9. Com moda 8 e c ≥ m ≥ p ≥ 0, o 8 precisa aparecer ao menos duas vezes, então c = m = 8, 16 + p = 18 e p = 2. Logo N = 8820 e ☺ = 98, cuja soma de algarismos é 17, um número primo.
Análise das alternativas
A) 17 não é divisível por 3. B) 17 não é quadrado perfeito. D) 17 não é divisível por 5. E) 17 não é cubo perfeito.
Referência: Dízima periódica composta e fração geratriz.
Resolução comentada do VaiConcursos.