Gabarito disponível
Texto-base:
Julgue os próximos itens, considerando que a distribuição condicional Y|R = r segue uma distribuição gama com parâmetro de forma r e parâmetro de escala 1, e supondo que R segue uma distribuição geométrica com probabilidade de sucesso 0,5, tal que r ∈ {1, 2, 3, … }.
A distribuição de R condicionalmente a um valor observado de Y, denotado como R|Y = y, segue uma distribuição binomial.
Julgue os próximos itens, considerando que a distribuição condicional Y|R = r segue uma distribuição gama com parâmetro de forma r e parâmetro de escala 1, e supondo que R segue uma distribuição geométrica com probabilidade de sucesso 0,5, tal que r ∈ {1, 2, 3, … }.
A distribuição de R condicionalmente a um valor observado de Y, denotado como R|Y = y, segue uma distribuição binomial.
Resolução comentada
R|Y=y não é binomial; R−1 segue Poisson(y/2).
A posteriori, P(R=r|y) é proporcional a (y^(r−1)e^(−y)/(r−1)!)·(0,5)^r, que é proporcional a (y/2)^(r−1)/(r−1)!. Logo R−1|Y=y ~ Poisson(y/2), cujo suporte é infinito. A binomial tem suporte finito.
Análise das alternativas
Certo: a distribuição obtida é Poisson deslocada, não binomial. Errado: correto.
Referência: Teorema de Bayes para variáveis mistas; mistura gama-geométrica.
Resolução comentada do VaiConcursos.