Gabarito disponível
Seja A = {(x, y); x > 0, y > 0 e x, y ∈ ℤ}, tais que x² − y² = 2023. A quantidade de elementos do conjunto A é igual a:
Resolução comentada
Fatoração de x²−y² = 2023 = 7·17² e contagem dos pares (x, y) inteiros positivos.
Fatorando, (x−y)(x+y) = 2023 = 7·17². Os divisores de 2023 são 1, 7, 17, 119, 289 e 2023. Como x−y < x+y e os dois fatores têm a mesma paridade (todos são ímpares), valem os pares (1, 2023), (7, 289) e (17, 119). Eles dão (x, y) = (1012, 1011), (148, 141) e (68, 51), ou seja, 3 elementos.
Análise das alternativas
4, 6, 8 e 9 contam pares a mais, por exemplo ao considerar também fatores negativos ou ao repetir a ordem dos fatores. Isso não vale aqui, porque x e y são positivos e x−y < x+y.
Referência: Equações diofantinas e fatoração da diferença de quadrados.
Resolução comentada do VaiConcursos.