Gabarito disponível
Texto-base:
Quando precisar use os seguintes valores para as constantes: Constante da gravitação universal G = 7 × 10⁻¹¹ m³/kg.s². Aceleração da gravidade g = 10 m/s². Velocidade do som no ar = 340 m/s. Raio da Terra R = 6 400 km. Constante dos gases R = 8,3 J/mol.K. Índice adiabático do ar γ = C_P/C_V = 1,4. Massa molecular do ar M_ar = 0,029 kg/mol. Permeabilidade magnética do vácuo μ₀ = 4π × 10⁻⁷ N/A². Pressão atmosférica 1,0 atm = 100 kPa. Massa específica da água = 1,0 g/cm³
Quatro corpos pontuais, cada qual de massa m, atraem-se mutuamente devido à interação gravitacional. Tais corpos encontram-se nos vértices de um quadrado de lado L girando em torno do seu centro com velocidade angular constante. Sendo G a constante de gravitação universal, o período dessa rotação é dado por
Quando precisar use os seguintes valores para as constantes: Constante da gravitação universal G = 7 × 10⁻¹¹ m³/kg.s². Aceleração da gravidade g = 10 m/s². Velocidade do som no ar = 340 m/s. Raio da Terra R = 6 400 km. Constante dos gases R = 8,3 J/mol.K. Índice adiabático do ar γ = C_P/C_V = 1,4. Massa molecular do ar M_ar = 0,029 kg/mol. Permeabilidade magnética do vácuo μ₀ = 4π × 10⁻⁷ N/A². Pressão atmosférica 1,0 atm = 100 kPa. Massa específica da água = 1,0 g/cm³
Quatro corpos pontuais, cada qual de massa m, atraem-se mutuamente devido à interação gravitacional. Tais corpos encontram-se nos vértices de um quadrado de lado L girando em torno do seu centro com velocidade angular constante. Sendo G a constante de gravitação universal, o período dessa rotação é dado por
Resolução comentada
Força gravitacional resultante no centro igual à centrípeta fornece T = 2π√[(L³/Gm)(4−√2)/7].
Cada corpo gira com raio L/√2. A força resultante aponta para o centro e vale Gm²/L²·(√2 + 1/2): dois vizinhos contribuem com √2·Gm²/L² e o oposto com Gm²/(2L²). Igualando a m·ω²·L/√2, obtém-se ω² = Gm(4+√2)/(2L³). Logo T = 2π√[2L³/(Gm(4+√2))] = 2π√[(L³/Gm)(4−√2)/7].
Análise das alternativas
A, B, C e E trazem outras combinações de √2 e outros denominadores. Isso ocorre ao se esquecer a componente dos vizinhos (cos 45°), a força do corpo oposto ou a racionalização de 2/(4+√2). Nenhuma coincide com o resultado.
Referência: Gravitação universal e movimento circular uniforme.
Resolução comentada do VaiConcursos.