Gabarito disponível
Os zeros da função f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x² − 4px + 32p − 148, com p ∈ ℝ, também representam as medidas dos comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa possui comprimento igual a 10. O produto dos possíveis valores de p é igual a
Resolução comentada
Zeros da função como catetos: soma dos quadrados igual a 100.
Pelas relações de Girard, x1 + x2 = 2p e x1·x2 = 16p − 74. Pelo teorema de Pitágoras, x1² + x2² = 100, ou seja, 4p² − 2(16p − 74) = 100, que dá p² − 8p + 12 = 0. As raízes são p = 2 e p = 6, e seu produto é 12, valor do gabarito. Observação: para catetos positivos, só p = 6 serviria (p = 2 dá produto de raízes negativo), mas o gabarito oficial considera o produto das duas soluções da equação em p.
Análise das alternativas
A, B, D e E) 48, 24, 6 e 3 não são o produto das raízes de p² − 8p + 12 = 0, que é c/a = 12.
Referência: Função quadrática, relações de Girard e teorema de Pitágoras.
Resolução comentada do VaiConcursos.