Gabarito disponível
Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere as seguites afirmações:
I. se x₁, x₂ e x₃ são as raízes da equação x³ − 2x² + x + 2 = 0, então y₁ = x₂x₃, y₂ = x₁x₃ e y₃ = x₁x₂ são as raízes da equação y³ − y² − 4y − 4 = 0.
II. a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.
III. √((3 + √5)/2) = (1 + √5)/2.
É(são) VERDADEIRA(S)
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere as seguites afirmações:
I. se x₁, x₂ e x₃ são as raízes da equação x³ − 2x² + x + 2 = 0, então y₁ = x₂x₃, y₂ = x₁x₃ e y₃ = x₁x₂ são as raízes da equação y³ − y² − 4y − 4 = 0.
II. a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.
III. √((3 + √5)/2) = (1 + √5)/2.
É(são) VERDADEIRA(S)
Resolução comentada
As três afirmações são verdadeiras.
I: pelas relações de Girard, e₁=2, e₂=1, e₃=−2. Para yᵢ, a soma é e₂=1, a soma dos produtos dois a dois é e₁e₃=−4 e o produto é e₃²=4, o que dá y³−y²−4y−4=0. II: n³+(n−1)³+(n+1)³ = 3n(n²+2), que é múltiplo de 9, pois n(n²+2) é múltiplo de 3. III: ((1+√5)/2)² = (3+√5)/2, e a raiz é positiva.
Análise das alternativas
A, B, C, D) Cada uma considera falsa ao menos uma afirmação, mas I, II e III são todas verdadeiras.
Referência: Relações de Girard; divisibilidade; radicais duplos
Resolução comentada do VaiConcursos.