Gabarito disponível
O número de soluções da equação cos³(x) + sen³(x) + (1/2)sen(2x) = 1 no intervalo [0,2π) é
Resolução comentada
Substituição t = sen x + cos x fatora a equação.
Seja t = sen x + cos x e p = sen x·cos x. Então cos³x + sen³x = t(1 − p), e a equação vira t(1 − p) + p = 1, isto é, (t − 1)(1 − p) = 0. Como p ≤ 1/2, p = 1 é impossível. Resta sen x + cos x = 1, cujas soluções em [0, 2π) são x = 0 e x = π/2, ou seja, 2 soluções.
Análise das alternativas
0 e 1 desconsideram uma das raízes. 3 e 4 incluiriam soluções que não satisfazem sen x + cos x = 1, pois p = 1 não ocorre.
Referência: Soma de cubos e identidade (sen x + cos x)² = 1 + 2 sen x cos x.
Resolução comentada do VaiConcursos.