Gabarito disponível
O mestre de matemática da Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR), em uma aula, pediu, na turma alpha, para os alunos formarem duplas.
Na dupla, um aluno seria o inventor da hipótese (AIH), e o outro aluno seria o julgador da hipótese (AJH).
Em seguida, o mestre propôs um desafio:
- O AIH teria que criar uma hipótese matemática e três afirmações a respeito do fato apresentado.
- O AJH teria que verificar se as afirmações eram verdadeiras ou falsas.
As alunas Vampré e Pires, agora no segundo esquadrão, formaram dupla, na qual a aluna Vampré, como AIH, sugeriu a seguinte hipótese:
Considere um número natural n formado por três algarismos não nulos. A soma dos três algarismos de n é igual a 12, e o quadrado de um deles é igual à soma dos outros dois.
Em seguida, ela construiu as três afirmações.
- Afirmação 1: n é sempre múltiplo de 3
- Afirmação 2: O 3 é sempre um dos algarismos de n
- Afirmação 3: Existem 21 valores possíveis para n
Se a aluna Pires, como AJH, resolveu de maneira correta a hipótese, então ela concluiu que:
Na dupla, um aluno seria o inventor da hipótese (AIH), e o outro aluno seria o julgador da hipótese (AJH).
Em seguida, o mestre propôs um desafio:
- O AIH teria que criar uma hipótese matemática e três afirmações a respeito do fato apresentado.
- O AJH teria que verificar se as afirmações eram verdadeiras ou falsas.
As alunas Vampré e Pires, agora no segundo esquadrão, formaram dupla, na qual a aluna Vampré, como AIH, sugeriu a seguinte hipótese:
Considere um número natural n formado por três algarismos não nulos. A soma dos três algarismos de n é igual a 12, e o quadrado de um deles é igual à soma dos outros dois.
Em seguida, ela construiu as três afirmações.
- Afirmação 1: n é sempre múltiplo de 3
- Afirmação 2: O 3 é sempre um dos algarismos de n
- Afirmação 3: Existem 21 valores possíveis para n
Se a aluna Pires, como AJH, resolveu de maneira correta a hipótese, então ela concluiu que:
Resolução comentada
O algarismo 3 sempre aparece, n é múltiplo de 3 e há 21 números possíveis.
Se a² = 12 − a, então a = 3, logo o 3 é sempre um dos algarismos (afirmação 2). Os outros dois somam 9, e a soma total 12 faz n ser múltiplo de 3 (afirmação 1). Os pares {1,8}, {2,7} e {4,5} dão 6 permutações cada (18), e {3,6} dá 3 (333 não ocorre, mas 336, 363, 633). Total: 21 (afirmação 3).
Análise das alternativas
A) Errada: as afirmações 2 e 3 também são verdadeiras. B) Errada: a afirmação 3 também é verdadeira. C) Errada: a afirmação 1 também é verdadeira.
Referência: Análise combinatória; permutações com repetição; critério de divisibilidade por 3.
Resolução comentada do VaiConcursos.