Gabarito disponível
Em um triângulo equilátero (Δ) com vértices A, B e C, marca-se os pontos médios D, E e F dos segmentos A̅B̅, A̅C̅ e B̅C̅, respectivamente. Dos segmentos D̅E̅, D̅F̅ e E̅F̅, marca-se, novamente, os pontos médios H, I e G. Sabendo que a área da figura plana formada pelos segmentos H̅I̅, H̅G̅ e I̅G̅ é 25√3 cm², assinale a opção que apresenta a quantidade de item ou itens INCORRETO(S).
I- A razão entre a altura (x) da figura plana formada pelos segmentos H̅I̅, H̅G̅ e I̅G̅ e a altura (X) do triângulo formado pelos segmentos A̅B̅, A̅C̅ e B̅C̅ é igual a 1/4.
II- A soma dos perímetros (Δ) ABC, (Δ) DEF e (Δ) HIG é um múltiplo de 7.
III- O lado do (Δ) HIG vale 25cm.
IV- A área do (Δ) BDF é quatro vezes maior que a área do (Δ) ADE.
I- A razão entre a altura (x) da figura plana formada pelos segmentos H̅I̅, H̅G̅ e I̅G̅ e a altura (X) do triângulo formado pelos segmentos A̅B̅, A̅C̅ e B̅C̅ é igual a 1/4.
II- A soma dos perímetros (Δ) ABC, (Δ) DEF e (Δ) HIG é um múltiplo de 7.
III- O lado do (Δ) HIG vale 25cm.
IV- A área do (Δ) BDF é quatro vezes maior que a área do (Δ) ADE.
Resolução comentada
Itens III e IV são incorretos: dois.
Cada triângulo tem metade do lado do anterior. A área de HIG é 25√3, então lado²·√3/4=25√3, e o lado de HIG é 10. DEF tem lado 20 e ABC tem lado 40. I) Correto: as alturas guardam razão 10/40=1/4. II) Correto: 120+60+30=210=7·30. III) Incorreto: o lado é 10, não 25. IV) Incorreto: BDF e ADE são congruentes, com áreas iguais.
Análise das alternativas
Há exatamente dois itens incorretos (III e IV), portanto só a alternativa C está certa.
Referência: Semelhança de triângulos e base média
Resolução comentada do VaiConcursos.