Gabarito disponível
Para que valores reais de x, a sequência geométrica (2x/(3x+1); 2x/(3x+1)²; 2x/(3x+1)³; ⋯) possui o limite da soma de seus termos iguais a 2/3?
Resolução comentada
Convergência exige |q| > 1 em termos de 3x+1, ou seja, x < −2/3 ou x > 0.
A razão é q = 1/(3x+1), e a soma é (2x/(3x+1))/(1 − q) = (2x/(3x+1))/(3x/(3x+1)) = 2/3, para x ≠ 0. Para a soma existir é preciso |q| 1. Isso dá x > 0 ou x < −2/3, isto é, (−∞; −2/3) ∪ (0; +∞).
Análise das alternativas
A) e B) ignoram a condição de convergência. C) é intervalo restrito demais. E) usa −1/3 em vez de −2/3, e para −2/3 < x < −1/3 temos |3x+1| < 1, sem convergência.
Referência: Progressão geométrica: soma de termos infinitos.
Resolução comentada do VaiConcursos.