Gabarito disponível
Considere dois lugares geométricos definidos por:
δ = {(x, y) ∈ ℝ; x² − 8x + y² = 0}; e
μ = {(x, y) ∈ ℝ; 8x² + 9y² − 32x = 256}.
Determine a razão entre a área interior a μ e exterior a δ e a área de μ e assinale a opção correta.
δ = {(x, y) ∈ ℝ; x² − 8x + y² = 0}; e
μ = {(x, y) ∈ ℝ; 8x² + 9y² − 32x = 256}.
Determine a razão entre a área interior a μ e exterior a δ e a área de μ e assinale a opção correta.
Resolução comentada
Razão entre a área da elipse exterior ao círculo e a área da elipse: (3−√2)/3.
δ é o círculo (x−4)²+y²=16, de área 16π. μ é a elipse (x−2)²/36 + y²/32 = 1, de área π·6·4√2 = 24√2π. O círculo está contido na elipse e tangente a ela em (8,0), pois 8x²−32x+9(8x−x²)−256 = −(x−8)(x−32) ≤ 0 para x entre 0 e 8. A razão pedida é (24√2π−16π)/(24√2π) = 1−√2/3 = (3−√2)/3.
Análise das alternativas
B, C, D e E resultam de erros no cálculo da área da elipse ou do círculo, e nenhuma simplifica para 1−√2/3.
Referência: Geometria analítica: circunferência e elipse, áreas.
Resolução comentada do VaiConcursos.