Gabarito disponível
Notação (página inicial da prova): ]a, b[ = {x ∈ ℝ : a < x < b}
Sejam α e β números reais tais que α, β, α + β ∈ ]0, 2π[ e satisfazem as equações
cos²(α/2) = (4/5) cos⁴(α/2) + 1/5 e cos²(β/3) = (4/7) cos⁴(β/3) + 3/7.
Então, o menor valor de cos(α + β) é igual a
Sejam α e β números reais tais que α, β, α + β ∈ ]0, 2π[ e satisfazem as equações
cos²(α/2) = (4/5) cos⁴(α/2) + 1/5 e cos²(β/3) = (4/7) cos⁴(β/3) + 3/7.
Então, o menor valor de cos(α + β) é igual a
Resolução comentada
Resolver as equações em cos² dá α e β; calcular cos(α + β).
Com u = cos²(α/2): 4u² − 5u + 1 = 0, logo u = 1/4 (u = 1 é impossível em ]0, π[), e α = 2π/3 ou 4π/3. Com v = cos²(β/3): 4v² − 7v + 3 = 0, logo v = 3/4 e β = π/2. Então α + β = 7π/6 ou 11π/6, e cos vale −√3/2 ou √3/2. O menor é −√3/2.
Análise das alternativas
A) −1, C) −√2/2, D) −1/2 e E) 0 não aparecem entre os valores possíveis de cos(α + β). Os únicos valores possíveis são ±√3/2.
Referência: Trigonometria: equações trigonométricas
Resolução comentada do VaiConcursos.