Gabarito disponível
Considere as afirmações a seguir:
I. Se z e w são números complexos tais que z − iw = 1 − 2i e w − z = 2 + 3i, então z² + w² = −3 + 6i.
II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 2|z|² + z² = 4 + 2i é igual a zero.
III. Se z = 1 − i, então z⁵⁹ = 2²⁹(−1 + i).
É (são) verdadeira(s)
I. Se z e w são números complexos tais que z − iw = 1 − 2i e w − z = 2 + 3i, então z² + w² = −3 + 6i.
II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 2|z|² + z² = 4 + 2i é igual a zero.
III. Se z = 1 − i, então z⁵⁹ = 2²⁹(−1 + i).
É (são) verdadeira(s)
Resolução comentada
I e II verdadeiras; III falsa (z⁵⁹ = 2²⁹(−1−i)).
I: somando as equações, w(1−i) = 3+i, logo w = 1+2i e z = −1−i, e z²+w² = 2i + (−3+4i) = −3+6i (verdadeira). II: com z = x+iy, xy = 1 e 3x²+y² = 4, que dá as soluções ±(1+i) e ±(1/√3 + i√3), cuja soma é 0 (verdadeira). III: z = √2·e^(−iπ/4) e z⁵⁹ tem argumento −59π/4 ≡ −3π/4, então z⁵⁹ = 2²⁹(−1−i), e não 2²⁹(−1+i) (falsa).
Análise das alternativas
A omite II. C, D e E incluem III, que é falsa por causa do sinal da parte imaginária.
Referência: Números complexos: forma algébrica e trigonométrica.
Resolução comentada do VaiConcursos.