Gabarito disponível
Em uma brincadeira entre amigos, Douglas anotou, em cada papelzinho, todos os números complexos z, tais que |z| = 1 e |z/z̄ + z̄/z| = 1, em que z̄ representa o conjugado de z, além de 7 respostas de outros exercícios que não envolvem números complexos. Feito isso, ele colocou todas as respostas em uma urna. Calcule a probabilidade de um amigo de Douglas retirar uma solução qualquer que apresente uma solução complexa. Suponha que a chance de retirar qualquer papelzinho da urna seja a mesma.
Resolução comentada
Há 8 números complexos; probabilidade 8/15.
Com |z|=1, z̄ = 1/z, então z/z̄ = z² e z̄/z = z̄². A soma é 2cos(2θ) e a condição |2cos(2θ)| = 1 dá cos(2θ) = ±1/2. Em θ∈[0,2π) existem 4 soluções para cada sinal, totalizando 8 números complexos. Com 7 outras respostas, o total é 15 papéis e a probabilidade é 8/15.
Análise das alternativas
As demais frações (6/13, 10/17, 5/12, 1/2) correspondem a contagens erradas de soluções complexas, como 6, 10 ou 5 raízes, que não satisfazem as duas condições simultaneamente.
Referência: Números complexos: forma polar, módulo e conjugado.
Resolução comentada do VaiConcursos.