Gabarito disponível
Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por
p(z) = z⁴ + (2 + i)z³ + (2 + i)z² + (2 + i)z + (1 + i).
Podemos afirmar que
p(z) = z⁴ + (2 + i)z³ + (2 + i)z² + (2 + i)z + (1 + i).
Podemos afirmar que
Resolução comentada
Raízes: i, −i, −1 e −1−i; uma tem módulo √2.
Verifica-se que p(i) = 0 e p(−i) = 0. Dividindo por z²+1 obtém-se z² + (2+i)z + (1+i) = 0, com discriminante −1 e raízes −1 e −1−i. As raízes são i, −i, −1 e −1−i, de módulos 1, 1, 1 e √2. Portanto, o módulo de uma das raízes é √2.
Análise das alternativas
A é falsa, pois −1 é real. B é falsa, pois i e −i são conjugadas. C é falsa: a soma dos módulos é 3 + √2. D é falsa: o produto dos módulos é √2.
Referência: Polinômios com coeficientes complexos; fatoração.
Resolução comentada do VaiConcursos.